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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{高中数学第十一章 - 空间向量与立体几何}
\subtitle{第四节 - 空间向量的应用 // 第一小节 - 用空间向量研究直线、平面的位置关系}
\author{人教版}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 标题页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 目录页
%\begin{frame}[allowframebreaks]{Contents}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

\begin{frame}{目录}

\begin{itemize}
\item  11.4.1. 用空间向量研究直线、平面的位置关系
\item  11.4.2. 用空间向量研究距离、夹角问题
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{11.4.1. 用空间向量研究直线、平面的位置关系}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{11.4.1. 引言 }

我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题。

我们发现，{\color{red}建立空间向量与几何要素的对应关系}是利用空间向量解决立体几何问题的关键。

本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题。

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{11.4.1. }

\textbf{11.4.1.1. 空间中点、直线和平面的向量表示}

我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素。

因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要{\color{red}用向量表示空间中的点、直线和平面}。

\textbf{思考:}
如何用向量表示空间中的一个点？


\newpage

如图 1.4-1，在空间中，我们取一定点 $O$ 作为基点，那么空间中任意一点 $P$ 就可以用向量 $\overrightarrow{OP}$ 来表示。
我们把向量 $\overrightarrow{OP}$ 称为点 $P$ 的{\color{red}位置向量}。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-1}
% \end{figure}


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{110} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (P) at (-1,-1,1);
        \coordinate (A) at (-2,-2,0);
        \coordinate (B) at (2,-2,0); 
        \coordinate (C) at (2,2,0);
        \coordinate (D) at (-2,2,0);

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
        
        \fill[blue] (O) circle (1.0pt) node[above right] {$O$};
        \fill[blue] (P) circle (1.0pt) node[above right] {$P$};
        
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (O) -- (P) node[above] {};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-1}
    \label{fig:1.4-1}
\end{figure}


\newpage 

\textbf{思考:}
我们知道，空间中给定一个点 $A$ 和一个方向就能唯一确定一条直线 $\ell$. 如何用向量表示直线 $\ell$？

用向量表示直线 $\ell$，就是要利用点 $A$ 和直线 $\ell$ 的{\color{red}方向向量}表示直线上的任意一点。


\newpage 

如图 1.4-2，$\boldsymbol{a}$ 是直线 $\ell$ 的{\color{red}方向向量}，在直线 $\ell$ 上取 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，设 $P$ 是直线 $\ell$ 上的任意一点，由向量{\color{red}共线}的条件可知，点 $P$ 在直线 $\ell$ 上的充要条件是存在实数 $t$，使得
\[
\overrightarrow{AP} = t \boldsymbol{a}, \quad \text{即} \quad \overrightarrow{AP} = t \overrightarrow{AB}.
\]

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-2}
% \end{figure}

\vspace{-0.5cm}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=Stealth, thick]

        % 定义点的位置
        \coordinate (A) at (0,0);
        \coordinate (B) at (2,1);
        \coordinate (P) at (3,1.5);

        \coordinate (M) at (0,1);
        \coordinate (N) at (2,2);

        % 绘制向量a
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (M) -- (N) node[midway, above left] {$a$};
        \fill[blue] (M) circle (1.5pt);% node[below left] {$M$};
        \fill[blue] (N) circle (1.5pt);% node[above right] {$B$};

        % 绘制直线ell
        \draw[dashed] (-1,-0.5) -- (4,2) node[right]{$\ell$};

        % 绘制λa (λ>0)
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (A) -- (B);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (P);

        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below right] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (P) circle (1.5pt) node[below right] {$P$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-2}
    \label{fig:1.4-2}
\end{figure}



进一步地，如图 1.4-3，取定空间中的任意一点 $O$，可以得到点 $P$ 在直线 $\ell$ 上的充要条件是存在实数 $t$，使
\begin{equation}
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t \boldsymbol{a},
\label{eq-1}
\end{equation}

将 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$ 代入(\ref{eq-1})式，得
\begin{equation}
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB}.
\label{eq-2}
\end{equation}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-3}
% \end{figure}

(\ref{eq-1})式和(\ref{eq-2})式都称为{\color{red}空间直线的向量表示式}。


\textbf{思考:}
由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。
你能证明这个结论吗？


\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=Stealth, thick]

        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (1,-2);

        \coordinate (A) at (0,0);
        \coordinate (B) at (2,1);
        \coordinate (P) at (3,1.5);

        \coordinate (M) at (0,1);
        \coordinate (N) at (2,2);

        % 绘制向量a
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (M) -- (N) node[midway, above left] {$a$};
        \fill[blue] (M) circle (1.5pt);% node[below left] {$M$};
        \fill[blue] (N) circle (1.5pt);% node[above right] {$B$};

        % 绘制直线ell
        \draw[dashed] (-1,-0.5) -- (4,2) node[right]{$\ell$};

        % 绘制λa (λ>0)
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (O) -- (A);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (B);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (P);

        \fill[blue] (O) circle (1.5pt) node[below] {$O$};
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[above] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[above] {$B$};
        \fill[blue] (P) circle (1.5pt) node[above] {$P$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-3}
    \label{fig:1.4-3}
\end{figure}




\newpage 

\textbf{思考:}

一个定点和两个定方向能否确定一个平面？

进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？

如果能确定，如何用向量表示这个平面？



\newpage

我们知道，平面 $\alpha$ 可以由 $\alpha$ 内两条相交直线确定。

如图 1.4-4，设两条直线相交于点 $O$，它们的{\color{red}方向向量}分别为 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$. 

（注：每条直线有两个方向，任选其中一个方向。）

$P$ 为平面 $\alpha$ 内任意一点。

由{\color{red}平面向量基本定理}可知，存在唯一的有序实数对 $(x, y)$，使得
$
\overrightarrow{OP} = x \boldsymbol{a} + y \boldsymbol{b}.
$

这样，点 $O$ 与向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不仅可以确定平面 $\alpha$，还可以具体表示出 $\alpha$ 内的任意一点。这种表示在解决几何问题时有重要作用。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-4}
% \end{figure}


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=2.2, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (B) at (1.5,0,0);
        \coordinate (C) at (0,1,0);

        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (P) at (3,2,0);
        \coordinate (M) at (3,0,0);
        \coordinate (N) at (0,2,0);

        % 标记点
        \fill[purple] (O) circle (1.0pt) node[left] {$O$};
        \fill[blue] (P) circle (1.0pt) node[right] {$P$};

        % 向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (B) node[below] {$\mathbf{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (C) node[above] {$\mathbf{b}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (O) -- (P) node[midway, above] {$\mathbf{p}$};

        % 线性组合
        \coordinate (B2) at (3,0,0);
        \coordinate (C2) at (0,2,0);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (B2) node[below] {$x\mathbf{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (C2) node[above] {$y\mathbf{b}$};
        \draw[dashed] (B2) -- (P);
        \draw[dashed] (C2) -- (P);

        % 外围平面alpha
        \coordinate (O1) at (-1,-1,0);
        \coordinate (N1) at (-1,3,0);
        \coordinate (P1) at (4,3,0);
        \coordinate (M1) at (4,-1,0);

        \draw[thick] (O1) -- (M1) -- (P1) -- (N1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (O1) -- (M1) -- (P1) -- (N1) -- cycle;

        % 标记平面alpha
        \node at (-0.7,-0.7,0) {$\alpha$}; 

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-4}
    \label{fig:1.4-4}
\end{figure}


\newpage

进一步地，如图 1.4-5，取定空间任意一点 $O$，可以得到，空间一点 $P$ 位于平面 $ABC$ 内的充要条件是存在实数 $x$、$y$，使
\begin{equation}
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}.
\label{eq-3}
\end{equation}

我们把(\ref{eq-3})式称为{\color{red}空间平面 $ABC$ 的向量表示式}。

由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-5}
% \end{figure}

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.8, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (O) at (1,1,0);
        \coordinate (A) at (0,0,2);
        \coordinate (B) at (1.5,0,2);
        \coordinate (C) at (0,1,2);
        \coordinate (P) at (3,2,2);
        \coordinate (M) at (3,0,2);
        \coordinate (N) at (0,2,2);

        \draw[dashed] (A) -- (M) -- (P) -- (N) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (M) -- (P) -- (N) -- cycle;

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.0pt) node[below left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.0pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.0pt) node[above] {$C$};
        \fill[blue] (P) circle (1.0pt) node[right] {$P$};
        \fill[blue] (O) circle (1.0pt) node[below left] {$O$};

        % 向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (B) node[midway,below] {$\mathbf{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (C) node[midway,above] {$\mathbf{b}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) -- (P) node[midway, above] {$\mathbf{p}$};

        % 
        \draw[thick] (O) -- (A);
        \draw[thick] (O) -- (P);
        \draw[dashed] (O) -- (B);
        \draw[dashed] (O) -- (C);

        % 外围平面alpha
        \coordinate (O1) at (-1,-1,2);
        \coordinate (N1) at (-1,3,2);
        \coordinate (P1) at (4,3,2);
        \coordinate (M1) at (4,-1,2);

        \draw[thick] (O1) -- (M1) -- (P1) -- (N1) -- cycle;
        \fill[blue!10, opacity=0.5] (O1) -- (M1) -- (P1) -- (N1) -- cycle;

        % 标记平面alpha
        \node at (-0.7,-0.7,2) {$\alpha$}; 

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-5}
    \label{fig:1.4-5}
\end{figure}


\newpage

我们知道，给定空间一点 $A$ 和一条直线 $\ell$，则过点 $A$ 且垂直于直线 $\ell$ 的平面是唯一确定的。

由此得到启发，我们可以利用点 $A$ 和直线 $\ell$ 的方向向量来确定平面。

如图 1.4-6，直线 $\ell \perp \alpha$. 

取直线 $\ell$ 的{\color{red}方向向量} $\boldsymbol{a}$，我们称向量 $\boldsymbol{a}$ 为平面 $\alpha$ 的{\color{red}法向量}（normal vector）。

给定一个点 $A$ 和一个向量 $\boldsymbol{a}$，那么过点 $A$，且以向量 $\boldsymbol{a}$ 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 
$$
\{P \mid \boldsymbol{a} \cdot \overrightarrow{AP} = 0\}.
$$ 

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-6}
% \end{figure}

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.8, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (0,-1,0);
        \coordinate (P) at (1,1,0);
        \coordinate (B) at (0,0,1);
        \coordinate (C) at (0,0,1.7);

        \draw[dashed] (O) -- (C) node[right] {$\ell$};

        % 标记点
        \fill[purple] (A) circle (1.0pt) node[below right] {$A$};
        \fill[purple] (P) circle (1.0pt) node[below right] {$P$};

        % 向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (B) node[midway,right] {$\mathbf{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (P);

        % 外围平面alpha
        \coordinate (A1) at (-2,-2,0);
        \coordinate (B1) at (-2,2,0);
        \coordinate (C1) at (2,2,0);
        \coordinate (D1) at (2,-2,0);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记平面alpha
        \node at (-1.7,-1.7,0) {$\alpha$}; 

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-6}
    \label{fig:1.4-6}
\end{figure}


\newpage 

\textbf{思考}

如果另有一条直线 $m \perp \alpha$，在直线 $m$ 上任取向量 $\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 有什么关系？

\newpage 

\textbf{例1.}

如图 1.4-7，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 4$，$BC = 3$，$CC_1 = 2$，$M$ 是 $AB$ 的中点。以 $D$ 为原点，$DA$、$DC$、$DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

(1) 求平面 $BCC_1B_1$ 的法向量；

(2) 求平面 $MCA_1$ 的法向量。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-7}
% \end{figure}



% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{120} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth, tdplot_main_coords]

        \coordinate (D) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (3,0,0);
        \coordinate (B) at (3,4,0);
        \coordinate (C) at (0,4,0);
        \coordinate (A1) at (3,0,2);
        \coordinate (B1) at (3,4,2);
        \coordinate (C1) at (0,4,2);
        \coordinate (D1) at (0,0,2);

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[above left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.5pt) node[above left] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.5pt) node[above left] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.5pt) node[above right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.5pt) node[above right] {$D_1$};

        % 线段
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 有些面给阴影
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) -- cycle;

        % 延长得到坐标轴
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) --++ (1,0,0) node[left] {$\mathbf{x}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (C) --++ (0,1,0) node[right] {$\mathbf{y}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (D1) --++ (0,0,1) node[above] {$\mathbf{z}$};

        % 待研究的点、线段
        \coordinate (M) at (3,2,0);
        \draw[thick,purple] (A1) -- (M);
        \draw[dashed,purple] (M) -- (C);
        \draw[dashed,purple] (A1) -- (C);
        \fill[purple] (M) circle (1.5pt) node[below] {$M$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-7}
    \label{fig:1.4-7}
\end{figure}


\newpage 

\textbf{分析：}

(1) 平面 $BCC_1B_1$ 与 $y$ 轴垂直，其法向量可以直接写出；

(2) 平面 $MCA_1$ 可以看成由 $\overrightarrow{MC}$、$\overrightarrow{MA_1}$、$\overrightarrow{CA_1}$ 中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量。

\newpage 

\textbf{解：}

(1) 因为 $y$ 轴垂直于平面 $BCC_1B_1$，所以 $\boldsymbol{n}_1 = (0, 1, 0)$ 是平面 $BCC_1B_1$ 的一个法向量。

(2) 因为 $AB = 4$，$BC = 3$，$CC_1 = 2$，$M$ 是 $AB$ 的中点，所以 $M$、$C$、$A_1$ 的坐标分别为 $(3, 2, 0)$、$(0, 4, 0)$、$(3, 0, 2)$. 

因此
$
\overrightarrow{MC} = (-3, 2, 0), \quad \overrightarrow{MA_1} = (0, -2, 2).
$

设 $\boldsymbol{n}_2 = (x, y, z)$ 是平面 $MCA_1$ 的法向量，则
$
\boldsymbol{n}_2 \perp \overrightarrow{MC}, \quad \boldsymbol{n}_2 \perp \overrightarrow{MA_1}.
$

因为‘两个向量相互垂直’等价于‘数量积等于零’，所以
\[
\left\{
\begin{aligned}
\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{MC} &= -3x + 2y = 0, \\
\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{MA_1} &= -2y + 2z = 0.
\end{aligned}
\right.
\]

所以
\[
\left\{
\begin{aligned}
x &= \frac{2}{3}z, \\
y &= z.
\end{aligned}
\right.
\]

取 $z = 3$，则 $x = 2$，$y = 3$. 于是 $\boldsymbol{n}_2 = (2, 3, 3)$ 是平面 $MCA_1$ 的一个法向量。



\textbf{注释:}

求平面的法向量，通常只需要求出平面的一个法向量。求直线的方向向量也是如此。




\newpage 

\textbf{练习1.} 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。

\begin{enumerate}
    \item 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； \hfill (\quad )
    \item 若 $\boldsymbol{v}$ 是直线 $l$ 的方向向量，则 $\lambda \boldsymbol{v} (\lambda \in \mathbb{R})$ 也是直线 $l$ 的方向向量； \hfill (\quad )
    \item 在空间直角坐标系中，$\boldsymbol{j} = (0, 0, 1)$ 是坐标平面 $Oxy$ 的一个法向量。 \hfill (\quad )
\end{enumerate}


\newpage 

\textbf{练习2.} 在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$，$O$ 是 $BD_1$ 与 $B_1D$ 的交点。

以 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 为空间的一个基底，求直线 $OA$ 的一个方向向量。



\newpage 

\textbf{练习3.} 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 4$，$BC = 3$，$CC_1 = 2$。以 $D$ 为原点，$\left\{\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}, \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}, \frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}\right\}$ 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系 $Oxyz$，求平面 $ACD_1$ 的一个法向量。



\newpage 

\textbf{11.4.1.2. 空间中直线、平面的平行}

我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量。

那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？

首先来看平行的问题。

\textbf{思考:}

由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？

\newpage

如图 1.4-8，设 $\boldsymbol{u}_1$，$\boldsymbol{u}_2$ 分别是直线 $\ell_1$，$\ell_2$ 的方向向量。

由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；

反过来，如果{\color{red}两条直线的方向向量}平行（共线），那么这{\color{red}两条直线}也平行。

所以
\[
\ell_1 \parallel \ell_2 \,\Longleftrightarrow\, \boldsymbol{u}_1 \parallel \boldsymbol{u}_2 \,\Longleftrightarrow\, \exists \lambda \in \mathbb{R}, \text{使得 } \boldsymbol{u}_1 = \lambda \boldsymbol{u}_2.
\]

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-8}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.5, >=Stealth, thick]

        % 定义点的位置
        \coordinate (A) at (0,0);
        \coordinate (B) at (1,1);
        \coordinate (C) at (2,2);
        \coordinate (D) at (3,3);

        \coordinate (A1) at (2,0);
        \coordinate (B1) at (3,1);
        \coordinate (C1) at (4.5,2.5);
        \coordinate (D1) at (5,3);

        % 绘制直线
        \draw[thick] (A) -- (D) node[above right] {$\ell_1$};
        \draw[thick] (A1) -- (D1) node[above right] {$\ell_2$};

        % 绘制向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (B) -- (C) node[midway, below right] {$u_1$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (B1) -- (C1) node[midway, below right] {$u_2$};

        % 绘制点
        \fill[purple] (B) circle (1.5pt) node[below] {};
        \fill[purple] (C) circle (1.5pt) node[below] {};
        \fill[purple] (B1) circle (1.5pt) node[below] {};
        \fill[purple] (C1) circle (1.5pt) node[below] {};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-8}
    \label{fig:1.4-8}
\end{figure}


\newpage

类似地，如图 1.4-9，设 $\boldsymbol{u}$ 是直线 $\ell$ 的方向向量，$\boldsymbol{n}$ 是平面 $\alpha$ 的法向量，$\ell \nsubseteq \alpha$. 则
\[
\ell \parallel \alpha \,\Longleftrightarrow\, \boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{n} \,\Longleftrightarrow\, \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} = 0.
\]

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-9}
% \end{figure}

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{0} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 平面alpha
        \coordinate (A1) at (-3,-2,0);
        \coordinate (B1) at (-2,2,0);
        \coordinate (C1) at (4,2,0);
        \coordinate (D1) at (3,-2,0);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.1] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记平面alpha
        \node at (-2.5,-1.5,0) {$\alpha$}; 

        % 法向量n
        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (N) at (0,0,1);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (N) node[midway,right] {$n$};
        \draw[thick, purple, line width=2pt] (O) -- (N);

        % 直线ell
        \coordinate (B) at (-1,1,1);
        \coordinate (C) at (2,1,1);
        \draw[thick] (B) -- (C) node[right] {$\ell$};

        % 直线ell上的向量
        \coordinate (E) at (0,1,1);
        \coordinate (F) at (1.5,1,1);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (E) -- (F) node[midway,above] {$u$};
        \draw[thick, purple, line width=2pt] (E) -- (F);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-9}
    \label{fig:1.4-9}
\end{figure}


\newpage

如图 1.4-10，设 $\boldsymbol{n}_1$, $\boldsymbol{n}_2$ 分别是平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ 的法向量，则
\[
\alpha_1 \parallel \alpha_2 \,\Longleftrightarrow\, \boldsymbol{n}_1 \parallel \boldsymbol{n}_2 \,\Longleftrightarrow\, \exists \lambda \in \mathbb{R}, \text{使得 }\, \boldsymbol{n}_1 = \lambda \boldsymbol{n}_2.
\]

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-10}
% \end{figure}


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{0} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 平面alpha2
        \coordinate (A2) at (-2,-1,2);
        \coordinate (B2) at (-1,3,2);
        \coordinate (C2) at (5,3,2);
        \coordinate (D2) at (4,-1,2);

        \draw[thick] (A2) -- (B2) -- (C2) -- (D2) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A2) -- (B2) -- (C2) -- (D2) -- cycle;

        % 标记平面alpha2
        \node at (-1.3,-0.3,2) {$\alpha_2$}; 

        % 平面alpha1
        \coordinate (A1) at (-3,-2,0);
        \coordinate (B1) at (-2,2,0);
        \coordinate (C1) at (4,2,0);
        \coordinate (D1) at (3,-2,0);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记平面alpha1
        \node at (-2.3,-1.3,0) {$\alpha_1$}; 

        % 法向量n1
        \coordinate (O1) at (0,0,0);
        \coordinate (N1) at (0,0,1);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O1) -- (N1) node[midway,right] {$n_1$};
        \draw[thick, purple, line width=2pt] (O1) -- (N1);

        % 法向量n2
        \coordinate (O2) at (1,1,2);
        \coordinate (N2) at (1,1,3);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O2) -- (N2) node[midway,right] {$n_2$};
        \draw[thick, purple, line width=2pt] (O2) -- (N2);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-10}
    \label{fig:1.4-10}
\end{figure}



\newpage 

\textbf{例2.} 

证明“{\color{red}平面与平面平行的判定定理}”：

若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

已知：如图 1.4-11，$a \subset \beta$, $b \subset \beta$, $a \cap b = P$, $a \parallel \alpha$, $b \parallel \alpha$.

求证：$\alpha \parallel \beta$.



% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 平面alpha1
        \coordinate (A1) at (-3,-2,0);
        \coordinate (B1) at (-2,2,0);
        \coordinate (C1) at (4,2,0);
        \coordinate (D1) at (3,-2,0);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记平面alpha1
        \node at (-2.3,-1.3,0) {$\alpha$}; 

        % 平面alpha2
        \coordinate (A2) at (-2,-1,2);
        \coordinate (B2) at (-1,3,2);
        \coordinate (C2) at (5,3,2);
        \coordinate (D2) at (4,-1,2);

        \draw[thick] (A2) -- (B2) -- (C2) -- (D2) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A2) -- (B2) -- (C2) -- (D2) -- cycle;

        % 标记平面alpha2
        \node at (-1.3,-0.3,2) {$\beta$}; 

        % 法向量n1
        \coordinate (O1) at (0,0,0);
        \coordinate (N1) at (0,0,1);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O1) -- (N1) node[midway,right] {$n$};
        \draw[thick, purple, line width=2pt] (O1) -- (N1);

        % 法向量n2
        \coordinate (O2) at (0,0,2);
        \coordinate (E2) at (2,0,2);
        \coordinate (F2) at (1,2,2);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O2) -- (E2) node[midway,below] {$u$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O2) -- (F2) node[midway,above] {$v$};

        % 标记点
        \fill[purple] (O2) circle (1.0pt) node[above left] {$P$};

        % 平面beta上的任意一点
        \coordinate (Q) at (2.8,2,2);
        \fill[blue] (Q) circle (1.0pt) node[below right] {$Q$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (O2) -- (Q);

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-11}
    \label{fig:1.4-11}
\end{figure}



\newpage 

\textbf{分析：}

设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}$，直线 $a$、$b$ 的方向向量分别为 $\boldsymbol{u}$、$\boldsymbol{v}$，则由已知条件可得 $\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{u} = \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v} = 0$，由此可以证明 $\boldsymbol{n}$ 与平面 $\beta$ 内的任意一个向量垂直，即 $\boldsymbol{n}$ 也是 $\beta$ 的法向量。


\newpage

\textbf{证明：}

如图 1.4-11，取平面 $\alpha$ 的法向量 $\boldsymbol{n}$，直线 $a$、$b$ 的方向向量 $\boldsymbol{u}$、$\boldsymbol{v}$. 

因为 $a \parallel \alpha$，$b \parallel \alpha$，所以 $\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{u} = 0$，$\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v} = 0$.

因为 $a \subset \beta$，$b \subset \beta$，$a \cap b = P$，

所以对任意点 $Q \in \beta$，存在 $x, y \in \mathbb{R}$，使得 $\overrightarrow{PQ} = x \boldsymbol{u} + y \boldsymbol{v}$.

从而 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = \boldsymbol{n} \cdot (x \boldsymbol{u} + y \boldsymbol{v}) = x (\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{u}) + y (\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v}) = 0$. 

所以，向量 $\boldsymbol{n}$ 也是平面 $\beta$ 的法向量。故 $\alpha \parallel \beta$. 

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-11}
% \end{figure}

\newpage 

\textbf{例3.}

如图 1.4-12，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 4$，$BC = 3$，$CC_1 = 2$. 线段 $B_1C$ 上是否存在点 $P$，使得 $A_1P \parallel$ 平面 $ACD_1$？

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-12}
% \end{figure}


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{110} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth, tdplot_main_coords]

        %长方体的顶点
        \coordinate (D) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (3,0,0);
        \coordinate (B) at (3,4,0);
        \coordinate (C) at (0,4,0);
        \coordinate (A1) at (3,0,2);
        \coordinate (B1) at (3,4,2);
        \coordinate (C1) at (0,4,2);
        \coordinate (D1) at (0,0,2);

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[above left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (O) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.5pt) node[above left] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.5pt) node[above left] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.5pt) node[above right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.5pt) node[above right] {$D_1$};

        % 线段
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);



        % 有些面给阴影
        \draw[dashed] (A) -- (C) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (C) -- (D1) -- cycle;

        % 延长得到坐标轴
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) --++ (1,0,0) node[left] {$\mathbf{x}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (C) --++ (0,1,0) node[right] {$\mathbf{y}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (D1) --++ (0,0,1) node[above] {$\mathbf{z}$};

        % 待研究的点、线段
        \coordinate (P) at (1.5,4,1);
        \draw[dashed,purple] (A1) -- (P);
        \draw[dashed,purple] (B1) -- (C);
        \fill[purple] (P) circle (1.5pt) node[above] {$P$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-12}
    \label{fig:1.4-12}
\end{figure}



\textbf{分析：}

根据条件建立适当的空间直角坐标系。

那么问题中涉及的点、向量 $\overrightarrow{B_1C}$、$\overrightarrow{A_1P}$，以及平面 $ACD_1$ 的法向量 $\boldsymbol{n}$ 等都可以用坐标表示。

如果点 $P$ 存在，那么就有 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1P} = 0$. 

由此通过向量的坐标运算可得结果。


\newpage

\textbf{解：}
以 $D$ 为原点，$DA$、$DC$、$DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立如图 1.4-12 所示的空间直角坐标系。

因为 $A$、$C$、$D_1$ 的坐标分别为 $(3, 0, 0)$、$(0, 4, 0)$、$(0, 0, 2)$，所以
\[
\overrightarrow{AC} = (-3, 4, 0), \quad \overrightarrow{AD_1} = (-3, 0, 2).
\]

设 $\boldsymbol{n} = (x, y, z)$ 是平面 $ACD_1$ 的法向量，则 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$，$\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AD_1} = 0$，即
\[
\left\{
\begin{aligned}
-3x + 4y &= 0, \\
-3x + 2z &= 0.
\end{aligned}
\right.
\]

解得 $x = \frac{2}{3}z, y = \frac{1}{2}z$. 
取 $z = 6$, 则 $\boldsymbol{n} = (4, 3, 6)$ 是平面 $ACD_1$ 的一个法向量。

由 $A_1$、$C$、$B_1$ 的坐标分别为 $(3, 0, 2)$、$(0, 4, 0)$、$(3, 4, 2)$，得 $\overrightarrow{A_1B_1} = (0, 4, 0)$，$\overrightarrow{B_1C} = (-3, 0, -2)$. 

设点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B_1P} = \lambda \overrightarrow{B_1C}$（$0 \leq \lambda \leq 1$），则 $\overrightarrow{B_1P} = (-3\lambda, 0, -2\lambda)$，所以 $\overrightarrow{A_1P} = \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{B_1P} = (-3\lambda, 4, -2\lambda)$. 



令 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1P} = 0$，得 $-12\lambda + 12 - 12\lambda = 0$，解得 $\lambda = \frac{1}{2}$，这样的点 $P$ 存在。

所以，当 $\overrightarrow{B_1P} = \frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C}$，即 $P$ 为 $B_1C$ 的中点时，$A_1P \parallel$ 平面 $ACD_1$. 



\newpage 

\textbf{练习1.} 用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。


\newpage 

\textbf{练习2.} 如图，在四面体 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点。直线 $AD$ 上是否存在点 $F$，使得 $AE \parallel CF$？

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第2题)}
% \end{figure}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.4\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第3题)}
% \end{figure}


\newpage 

\textbf{练习3.} 如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$、$F$ 分别是面 $AB_1$、面 $A_1C_1$ 的中心。求证：$EF \parallel$ 平面 $ACD_1$。


\newpage 

\textbf{11.4.1.3. 空间中直线、平面的垂直}

\textbf{思考}

类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？

一般地，{\color{red}直线与直线垂直}，就是两直线的方向向量垂直；

{\color{red}直线与平面垂直}，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；

{\color{red}平面与平面垂直}，就是两平面的法向量垂直。


\newpage

如图 1.4-13(1)，设直线 $\ell_1$、$\ell_2$ 的方向向量分别为 $\boldsymbol{u}_1$、$\boldsymbol{u}_2$，则
\[
\ell_1 \perp \ell_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \perp \boldsymbol{u}_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2 = 0.
\]

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \subfloat[(1)]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png}} % 替换为实际图片文件名
%     \subfloat[(2)]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png}} % 替换为实际图片文件名
%     \subfloat[(3)]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png}} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-13}
% \end{figure}


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 外围平面alpha
        \coordinate (A1) at (-2,-2,0);
        \coordinate (B1) at (-2,2,0);
        \coordinate (C1) at (2,2,0);
        \coordinate (D1) at (2,-2,0);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.5] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记平面alpha
        \node at (-1.7,-1.7,0) {$\alpha$}; 

        % 直线ell_2
        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (0,0,0.5);
        \coordinate (B) at (0,0,1.5);
        \coordinate (C) at (0,0,2);
        
        \draw[thick] (O) -- (C) node[right] {$\ell_2$};
        \draw[thick, line width=2pt, purple] (A) -- (B);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (B) node[midway,right] {$\mathbf{u_2}$};

        % 直线ell_1
        \coordinate (E) at (-1.5,-0.5,0);
        \coordinate (F) at (-1,-0.5,0);
        \coordinate (G) at (1,-0.5,0);
        \coordinate (H) at (1.5,-0.5,0);
        
        \draw[thick] (E) -- (H) node[right] {$\ell_1$};
        \draw[thick, line width=2pt, purple] (F) -- (G);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (F) -- (G) node[midway,below] {$\mathbf{u_1}$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-13-i}
    \label{fig:1.4-13-i}
\end{figure}



如图 1.4-13(2)，设直线 $\ell$ 的方向向量为 $\boldsymbol{u}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}$，则
\[
\ell \perp \alpha \Leftrightarrow \boldsymbol{u} \parallel \boldsymbol{n} \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}, \text{使得 } \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{n}.
\]


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 外围平面alpha
        \coordinate (A1) at (-2,-2,0);
        \coordinate (B1) at (-2,2,0);
        \coordinate (C1) at (2,2,0);
        \coordinate (D1) at (2,-2,0);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.2] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记平面alpha
        \node at (-1.7,-1.7,0) {$\alpha$}; 

        % 直线ell
        \coordinate (O) at (0,0,0);
        \coordinate (A) at (0,0,0.5);
        \coordinate (B) at (0,0,1.5);
        \coordinate (C) at (0,0,2);
        
        \draw[thick] (O) -- (C) node[right] {$\ell$};
        \draw[thick, line width=2pt, purple] (A) -- (B);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (B) node[midway,right] {$\mathbf{u}$};

        % 平面法向量n
        \coordinate (E) at (-1,-1,0);
        \coordinate (F) at (-1,-1,1);

        \draw[thick, line width=2pt, purple] (E) -- (F);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (E) -- (F) node[midway,right] {$\mathbf{n}$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-13-ii}
    \label{fig:1.4-13-ii}
\end{figure}



如图 1.4-13(3)，设平面 $\alpha_1$、$\alpha_2$ 的法向量分别为 $\boldsymbol{n}_1$、$\boldsymbol{n}_2$，则
\[
\alpha \perp \alpha_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 \perp \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 = 0.
\]


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{120} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 平面alpha_1
        \coordinate (A) at (-2,-2,0);
        \coordinate (B) at (-2,2,0);
        \coordinate (C) at (2,2,0);
        \coordinate (D) at (2,-2,0);

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.2] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;

        % 标记平面alpha_1
        \node at (1.5,1.5,0) {$\alpha_1$}; 

        % 平面alpha_2
        \coordinate (A1) at (-2,-2,0);
        \coordinate (B1) at (2,-2,0);
        \coordinate (C1) at (2,-2,2);
        \coordinate (D1) at (-2,-2,2);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.2] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记平面alpha_2
        \node at (1.5,-2,1.5) {$\alpha_2$}; 

        % 平面alpha_1的法向量n_1
        \coordinate (E) at (-1,-0.5,0);
        \coordinate (F) at (-1,-0.5,1);

        \draw[thick, line width=2pt, purple] (E) -- (F);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (E) -- (F) node[midway,right] {$\mathbf{n}_1$};

        % 平面alpha的法向量n
        \coordinate (E2) at (1,-2,1);
        \coordinate (F2) at (1,-1,1);

        \draw[thick, line width=2pt, purple] (E2) -- (F2);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (E2) -- (F2) node[midway,above] {$\mathbf{n}_2$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-13-iii}
    \label{fig:1.4-13-iii}
\end{figure}


\newpage 

\textbf{例4.}

如图 1.4-14，在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = AD = AA_1 = 1$, $\angle A_1AB = \angle A_1AD = \angle BAD = 60^\circ$. 
求证：直线 $A_1C \perp$ 平面 $BDD_1B_1$. 


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.3, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 底面顶点
        \coordinate (A) at (0,0,0);
        \coordinate (B) at (4,0,0);
        \coordinate (C) at (4,3,0);
        \coordinate (D) at (0,3,0);

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);

        % 上面顶点
        \coordinate (A1) at (1,1,2);
        \coordinate (B1) at (5,1,2);
        \coordinate (C1) at (5,4,2);
        \coordinate (D1) at (1,4,2);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        
        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[above left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (A1) circle (1.5pt) node[below right] {$A_1$};
        \fill[blue] (B1) circle (1.5pt) node[below right] {$B_1$};
        \fill[blue] (C1) circle (1.5pt) node[below right] {$C_1$};
        \fill[blue] (D1) circle (1.5pt) node[below right] {$D_1$};

        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        \draw[dashed] (D) -- (D1);

        % 待研究的线段
        \draw[dashed, purple] (A1) -- (C);
        \draw[dashed, purple] (B) -- (D);
        \draw[thick, purple] (B1) -- (D1);

        \fill[blue!20, opacity=0.5] (B) -- (D) -- (D1) -- (B1) -- cycle;

        % 使用向量方法，基底
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (B) node[midway,below] {$a$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, purple] (A) -- (D) node[midway,below] {$b$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A) -- (A1) node[midway,left] {$c$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-14}
    \label{fig:1.4-14}
\end{figure}



\newpage

\textbf{分析：}

根据条件，可以 $\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}\}$ 为{\color{red}基底}，并用{\color{red}基向量}表示 $\overrightarrow{A_1C}$ 和平面 $BDD_1B_1$，再通过{\color{red}向量运算}证明 $\overrightarrow{A_1C}$ 是平面 $BDD_1B_1$ 的法向量即可。

\newpage

\textbf{证明：}

设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$，则 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 为空间的一个{\color{red}基底}，且
\[
\overrightarrow{A_1C} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}, \quad \overrightarrow{BD} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}, \quad \overrightarrow{BB_1} = \boldsymbol{c}.
\]

因为 $AB = AD = AA_1 = 1$，$\angle A_1AB = \angle A_1AD = \angle BAD = 60^\circ$，所以
\[
\boldsymbol{a}^2 = \boldsymbol{b}^2 = \boldsymbol{c}^2 = 1, \quad \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a} = \frac{1}{2}.
\]

在平面 $BDD_1B_1$ 上，取 $\overrightarrow{BD}$、$\overrightarrow{BB_1}$ 为{\color{red}基向量}，则对于平面 $BDD_1B_1$ 上任意一点 $P$，存在唯一的有序实数对 $(\lambda, \mu)$，使得
\[
\overrightarrow{BP} = \lambda \overrightarrow{BD} + \mu \overrightarrow{BB_1}.
\]

所以，
\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{A_1C} \cdot \overrightarrow{BP} &= \lambda \overrightarrow{A_1C} \cdot \overrightarrow{BD} + \mu \overrightarrow{A_1C} \cdot \overrightarrow{BB_1} \\
&= \lambda (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) + \mu (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{c} = 0.
\end{aligned}
\]

所以 $\overrightarrow{A_1C}$ 是平面 $BDD_1B_1$ 的法向量。
所以 $A_1C$ 垂直于平面 $BDD_1B_1$.

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-14}
% \end{figure}


\newpage 

\textbf{例5.}

证明“{\color{red}平面与平面垂直的判定定理}”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
%
已知：如图 1.4-15，$\ell \perp \alpha$, $\ell \subset \beta$. 
求证：$\alpha \perp \beta$.


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{120} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 平面alpha
        \coordinate (A) at (-2,-4,0);
        \coordinate (B) at (-2,1,0);
        \coordinate (C) at (2,1,0);
        \coordinate (D) at (2,-4,0);

        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.2] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;

        % 标记平面alpha_1
        \node at (1.5,-3.5,0) {$\alpha$}; 

        % 平面beta
        \coordinate (A1) at (-2,-2,0);
        \coordinate (B1) at (2,-2,0);
        \coordinate (C1) at (2,-2,2);
        \coordinate (D1) at (-2,-2,2);

        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;
        \fill[blue!20, opacity=0.2] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;

        % 标记平面alpha_2
        \node at (-1.5,-2,1.5) {$\beta$}; 

        % 平面alpha的法向量u
        \coordinate (E2) at (0,-2,0);
        \coordinate (F2) at (0,-2,1);
        \coordinate (G2) at (0,-2,2);

        \draw[thick, purple] (E2) -- (G2) node[below left] {$\ell$};
        \draw[thick, line width=2pt, purple] (E2) -- (F2);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (E2) -- (F2) node[below left] {$u$};

        % 平面beta的法向量n
        \coordinate (E1) at (-1,-2,1);
        \coordinate (F1) at (-1,-1,1);

        \draw[thick, line width=2pt, purple] (E1) -- (F1);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (E1) -- (F1) node[right] {$n$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.4-15}
    \label{fig:1.4-15}
\end{figure}




\textbf{证明：}

取直线 $\ell$ 的{\color{red}方向向量} $\boldsymbol{u}$，
因为 $\ell \perp \alpha$，所以 $\boldsymbol{u}$ 是平面 $\alpha$ 的{\color{red}法向量}。


取平面 $\beta$ 的{\color{red}法向量} $\boldsymbol{n}$, 
因为 $\ell \subset \beta$, 所以 $\boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{n}$. 

因为两个{\color{red}平面相互垂直}的定义是这两个平面的{\color{red}法向量相互垂直}，
所以 $\alpha \perp \beta$. 



% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{图 1.4-15}
% \end{figure}


\newpage 

\textbf{练习1.} 已知 $\boldsymbol{u} = (3, a + b, a - b)$（$a, b \in \mathbb{R}$）是直线 $l$ 的方向向量，$\boldsymbol{n} = (1, 2, 3)$ 是平面 $\alpha$ 的法向量。
    \begin{enumerate}
        \item 若 $l \parallel \alpha$，求 $a, b$ 的关系式；
        \item 若 $l \perp \alpha$，求 $a, b$ 的值。
    \end{enumerate}



\newpage 

\textbf{练习2.} 已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 1，以 $D$ 为原点，$\{\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DD_1}\}$ 为单位正交基底建立空间直角坐标系。求证：$A_1C \perp BC_1$。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image.png} % 替换为实际图片文件名
%     \caption{(第3题)}
% \end{figure}


\newpage 

\textbf{练习3}. 如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 2$，$BC = CC_1 = 1$，$E$ 是 $CD$ 的中点，$F$ 是 $BC$ 的中点。求证：平面 $EAD_1 \perp$ 平面 $EFD_1$。

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\end{document}


